正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BB1的中点，（1）求DF与平面ABCD成角的正切值； （2）求证：EF⊥平面A1D1B．

题型：不详难度：来源：

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB，BB₁的中点，
（1）求DF与平面ABCD成角的正切值； 
（2）求证：EF⊥平面A₁D₁B．

答案

（1）如图所示：由正方体可知：B₁B⊥底面ABCD，∴∠FDB为DF与平面ABCD所成的角．


不妨设正方体的棱长AB=2，则BD=2

2

．
∵F分别是BB₁的中点，∴BF=1．
在Rt△BFD中，tan∠BDF=

BF

BD

=

1

2 2

=

2

4

．
∴DF与平面ABCD成角的正切值是

2

4

．
（2）∵E，F分别是AB，BB₁的中点，∴EF∥AB₁．
∵A₁B⊥AB₁，∴EF⊥A₁B．
由正方体可知：D₁A₁⊥EF，又D₁A₁∩A₁B=A₁．
∴EF⊥平面A₁BD₁．