如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平

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如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别是A₁B，A₁C的中点，点D在B₁C₁上，A₁D⊥B₁C．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

答案

证明：（1）因为E，F分别是A₁B，A₁C的中点，
所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；
（2）因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以BB₁⊥面A₁B₁C₁，BB₁⊥A₁D，
又A₁D⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，所以A₁D⊥面BB₁C₁C，又A₁D⊂面A₁FD，所以平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

举一反三

如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．

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下列各图中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是______

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如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（单位：cm），E为PA的中点．
（1）证明：DE∥平面PBC；
（2）证明：DE⊥平面PAB．

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如图，O是长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁底面对角线AC与BD的交点，求证：B₁O∥平面A₁C₁D．

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如图所示，已知ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD．
（1）证明：PC⊥CD；
（2）若E是PA的中点，证明：BE∥平面PCD；
（3）若PA=3，求三棱锥B-PCD的体积．

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