四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2（1）求证：BD⊥PC；（2）求BP与平面PAC所成角的大小．

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四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求BP与平面PAC所成角的大小．

答案

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面PAC
∵PC⊂平面PAC
∴BD⊥PC；
（2）设AC∩BD=O，连接OP，则
∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
∴BO⊥AC，BO⊥PA
∵AC∩PA=A
∴BO⊥平面PAC，
∴∠BPO是BP与平面PAC所成角，
∵PA=AB=2
∴PB=2

2

，OB=

2

∴sin∠BPO=

1

2

∴∠BPO=30°
即BP与平面PAC所成角是30°．