(选做题）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．（1）求PA的长；（2）求棱P

题型：江苏期末题难度：来源：

(选做题）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱
PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．

答案

解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．
因为M是PC中点，所以M点的坐标为（ ， ， ），
所以 =（ ， ， ）， =（﹣1，1，0）， =（﹣1，0，a）．
（1）因为 平面PBD，所以 = =0．
即﹣ + =0，
所以a=1，即PA=1．
（2）由 =（0，1，0）， =（ ， ， ），
可求得平面AMD的一个法向量n=（﹣1，0，1）．
又 =（﹣1，﹣1，1）．
所以cos＜n， ＞= = = ．
所以，PC与平面AMD所成角的正弦值为 ．