如图：在直三棱柱ABC-DEF中，AB=2，AC=AD=23，AB⊥AC，（1）证明：AB⊥DC，（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

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如图：在直三棱柱ABC-DEF中，AB=2，AC=AD=2

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，AB⊥AC，
（1）证明：AB⊥DC，
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

答案

（1）在直三棱柱ABC-DEF中，则AD⊥AB，
又∵AB⊥AC，AD∩AC=A．
∴AB⊥平面ACFD，
∴AB⊥CD．
（2）由（1）可得：四边形ACFD为正方形，
连接对角线AF、CD相较于点M，则AM⊥CD．
又∵AB⊥平面ACFD，根据三垂线定理可得CD⊥BM．
∴∠AMB是二面角A-DC-B的平面角．
∵AM=

1

2

×2

3

×

2

=

6

，∴BM=

AB2+AM2

=

22+( 6 )2

=

10

．．
∴在Rt△ABM中，cos∠AMB=

AM

BM

=

6

10

=

60

10

．
故二面角A-DC-B的余弦值为

60

10

．