如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面中心,且A1在底面ABCD上的射影为O.(1)求证:平面O1DC⊥平面AB

如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面中心,且A1在底面ABCD上的射影为O.(1)求证:平面O1DC⊥平面AB

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如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形,O1,O分别为上、下底面中心,且A1在底面ABCD上的射影为O.
(1)求证:平面O1DC⊥平面ABCD;
(2)若点E、F分别在棱AA1、BC上,且AE=2EA1,问F在何处时,EF⊥AD?
(3)若∠A1AB=60°,求二面角C-AA1-B的正切值.
答案
(1)∵平行六面体底面为正方形,
∴A1ACC1,∴A1C1AC,
又O1,O分别为上下底面中心,∴A1O1CO,∴CO1A1O.
∵A1在底面ABCD射影为O,∴A1O⊥平面AC,CO1⊥平面AC,
又CO1⊂平面O1DC,
∴平面O1DC⊥平面ABCD.
(2)过E作AC垂线,垂足为G,则EGA1O,
∴EG⊥平面AC,
若要EF⊥AD,即EF⊥BC,则需GF⊥BC,
∵底面ABCD图形为正方形,∴FGAB,
A1E=
1
2
AE
,则OG=
1
2
AG

GF
AB
=
CF
CB
=
CG
CA
=
4
6
=
2
3

∴F为BC的三等分点,靠近B时,EF⊥AD.
(3)∵BO⊥AO,BO⊥A1O,AO∩A1O=O,
∴BO⊥面CA1,过O作OM⊥AA1于M,
连接BM,则AA1⊥BM,∠BMO是二面角C-AA1-B的平面角
由A1O⊥面AC,AO=BO得A1A=A1B,∠A1AB=60O
∴△A1AB为正三角形,
AB=a,A1A=a,则AO=BO=
1


2
a

A1O=
1


2
a
OM=
AA1
2
=
a
2

在Rt△BOM中,tan∠BMO=
BO
OM
=


2

所以所求的二面角的正切值为


2
举一反三
边长为a的菱形ABCD中锐角A=θ,现沿对角线BD折成60°的二面角,翻折后|AC|=


3
2
a,则锐角A是(  )
A.
π
12
B.
π
6
C.
π
3
D.
π
4

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如图,S是正方形ABCD所在平面外一点,且SD⊥面ABCD,AB=1,SB=


3

(1)求证:BC⊥SC;
(2)设M为棱SA中点,求异面直线DM与SB所成角的大小
(3)求面ASD与面BSC所成二面角的大小.
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1
(2)求多面体ADC-A1B1C1的体积;
(3)求二面角D-CB1-B的平面角的正切值.
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如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=2,点M、N分别在棱PD、PC的中点.
(1)求证:PD⊥平面AMN;
(2)求三棱锥P-AMN的体积;
(3)求二面角P-AN-M的大小.
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如图所示,将一副三角板拼接,使它们有公共边BC,且使两个三角形所在的平面互相垂直,若∠BAC=90°,AB=AC,∠CBD=90°,∠BDC=60°,BC=6.
(1)求证:平面ABD⊥平面ACD;
(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值;
(3)求异面直线AD与BC间的距离.
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