(Ⅰ)连结QM,∵点Q,M,N分别是线段PB,AB,BC的中点 ∴QM∥PA且MN∥AC,从而QM∥平面PAC且MN∥平面PAC 又∵MN∩QM=M,∴平面QMN∥平面PAC而QK⊂平面QMN ∴QK∥平面PAC…(7分) (Ⅱ)方法1:过M作MH⊥AK于H,连QH,则∠QHM即为二面角Q-AK-M的平面 角,设MK=x,且PA=PB=PC=8则MH=,又QM=4,且cos∠QHM=, ∴tan∠QHM===, 解得x=,∴MK的长度为.…(15分) 方法2:以B为原点,以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系, 则A(0,8,0),M(0,4,0),N(4,0,0),P(0,8,8),Q(0,4,4), 设K(a,b,0),则a+b=4,=(0,-4,4),=(a,-4-a,0)…(9分) 记=(x,y,z)为平面AQK的一个法向量,则⇒, 取y=z=a则x=4+a, 则=(a+4,a,a),…(11分) 又平面AKM的一个法向量=(0,0,1),设二面角Q-AK-M的平面角为θ 则|cosθ|===,解得a=1, ∴MK的长度为.…(15分) |