在二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥l,BD⊥l,已知AB=1,AC=BD=2,CD=5,则二面角α-l-β的余弦值为______

在二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥l,BD⊥l,已知AB=1,AC=BD=2,CD=5,则二面角α-l-β的余弦值为______

题型:不详难度:来源:
在二面角α-l-β中,A∈l,B∈l,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥l,BD⊥l,已知AB=1,AC=BD=2,CD=


5
,则二面角α-l-β的余弦值为______.
答案
根据题意画出图形:在平面β内,过A作AEBD,过点D作DEl,交AE于点E.连接CE.
∵BD⊥l,∴AE⊥l.∴ED⊥平面CAE.
又AC⊥l,∴∠CAE是二面角α-l-β的平面角.
由矩形ABDE得EA=2,ED=1.
在Rt△CED中,由勾股定理得CE=


CD2-ED2
=2.
∴△ACE是等边三角形,∴∠CAE=60°,∴cos∠CAE=
1
2

故答案为
1
2
举一反三
如图,在一个60°的二面角的棱上,有两个点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则CD的长为______.
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长方体ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1=a,底面ABCD的边长AB=2a,BC=a,E为C1D1的中点;
(1)求证:DE⊥平面BCE;
(2)求二面角E-BD-C的正切值.
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已知△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D为AB的中点,E,F分别在线段AC,BC上,且EFAB,EF交CD于G,把△ADC沿CD折起,如图所示,

(1)求证:E1F平面A1BD;
(2)当二面角A1-CD-B为直二面角时,是否存在点F,使得直线A1F与平面BCD所成的角为60°,若存在求CF的长,若不存在说明理由.
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如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.
(Ⅰ)求证:AM面SCD;
(Ⅱ)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值.
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已知


u
=(-2,2,5)


v
=(6,-4,4)


u


v
分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系式(  )
A.平行B.垂直
C.所成的二面角为锐角D.所成的二面角为钝角
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