长方体ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1=a，底面ABCD的边长AB=2a，BC=a，E为C1D1的中点；（1）求证：DE⊥平面BCE；（2）求二面角E-B

题型：不详难度：来源：

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁=a，底面ABCD的边长AB=2a，BC=a，E为C₁D₁的中点；
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

答案

（1）∵AA₁=a，AB=2a，BC=a，E为C₁D₁的中点；
∴DE=CE=

2

a，⇒DE⊥CE，
又∵DB=

5

a，EB=

3

a，
∴DE⊥EB，
又因为CE∩EB=E
所以DE⊥平面BCE
（2）取DC的中点F，则EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，连EH，
则∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，
由题意得EF=a，
在Rt△DFH中，HF=

5

5

a
所以tan∠EHF=

5

．