如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.(Ⅰ)求证
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如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.(Ⅰ)求证
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如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.
(Ⅰ)求证:AM
∥
面SCD;
(Ⅱ)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值.
答案
(Ⅰ)证明:以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则
A(0,0,0),B(0,2,0),D(1,0,0,),S(0,0,2),M(0,1,1).
则
AM
=(0,1,1),
SD
=(1,0,-2),
CD
=(-1,-2,0).
设平面SCD的法向量是
n
=(x,y,z),则
x-2z=0
-x-2y=0
令z=1,则x=2,y=-1.于是
n
=(2,-1,1).
∵
n
•
AM
=0-1×1+1×1=0,∴
AM
⊥
n
.
又∵AM⊄平面SCD,∴AM
∥
平面SCD.
(Ⅱ)易知平面SAB的法向量为
n
1
=(1,0,0).
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α,
则|cosα|=|
n
•
n
1
|
n
||
n
1
|
|=
2
1×
6
=
6
3
∴平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为
6
3
.
举一反三
已知
u
=(-2,2,5)
,
v
=(6,-4,4)
,
u
,
v
分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系式( )
A.平行
B.垂直
C.所成的二面角为锐角
D.所成的二面角为钝角
题型:不详
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如图,已知正三棱柱ABC=A
1
B
1
C
1
的各棱长都是4,E是BC的中点,动点F在侧棱CC
1
上,且不与点C重合.
(Ⅰ)当CF=1时,求证:EF⊥A
1
C;
(Ⅱ)设二面角C-AF-E的大小为θ,求tanθ的最小值.
题型:不详
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|
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正三棱锥的高为
3
,侧棱长为
7
,那么侧面与底面所成二面角的大小是( )
A.60°
B.30°
C.
arccos
21
7
D.
arcsin
21
7
题型:不详
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|
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如图,矩形ABEF和正方形ABCD有公共边AB,它们所在平面成60°的二面角,AB=CB=2a,BE=a,则DE=______.
题型:不详
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|
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已知二面角α-l-β的大小为60°,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,点B∈β,BD⊥l,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=______.
题型:不详
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|
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