如图,在几何体ABCDE中,AB=AD=BC=DC=2,AE=22,AB⊥AD,且AE⊥平面ABD,平面CBD⊥平面ABD.(Ⅰ)求证:AB∥平面CDE;(Ⅱ)

如图,在几何体ABCDE中,AB=AD=BC=DC=2,AE=22,AB⊥AD,且AE⊥平面ABD,平面CBD⊥平面ABD.(Ⅰ)求证:AB∥平面CDE;(Ⅱ)

题型:不详难度:来源:
如图,在几何体ABCDE中,AB=AD=BC=DC=2,AE=2


2
,AB⊥AD,且AE⊥平面ABD,平面CBD⊥平面ABD.
(Ⅰ)求证:AB平面CDE;
(Ⅱ)求二面角A-EC-D的余弦值.
答案
(Ⅰ)证明:如图建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,2


2
),
取BD中点T,连CT,AT,则CT⊥BD,
又平面CBD⊥平面ABD,
∴CT⊥平面ABD,∴CTAE,
∵CD=BC=2,BD=2


2

∴CD⊥CB,∴CT=


2

∴C(1,1,


2
),


AB
=(2,0,0),


DE
=(0,-2,2


2
),


DC
=(1,-1,


2
),
设平面CDE的一个法向量为


n
=(x,y,z),
则有





-2y+2


2
z=0
x-y+


2
z=0

取z=2,则y=2


2
,x=0,


n
=(0,2


2
,2),


AB


n
=0
∴AB平面CDE;
(Ⅱ)∵BD⊥AT,BD⊥AE,∴BD⊥平面ACE,
∴平面AEC的一个法向量为


BD
=(-2,2,0),
∵平面CDE的一个法向量


n
=(0,2


2
,2),
∴cos<


n


BD
>=
3


2
2


2
•2


3
=


3
4

∴二面角A-EC-D的余弦值为


3
4
举一反三
已知矩形ABCD中,AB=2,AD=5,E,F分别在AD,BC上且AE=1,BF=3,将四边形AEFB沿EF折起,使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上.

(1)求证:AD平面BFC;
(2)求二面角A-DE-F的平面角的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
边长为4的正四面体P-ABC中,E为PA的中点,则平面EBC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=


2
2
AB.
(Ⅰ)证明:BC1平面A1CD
(Ⅱ)求二面角D-A1C-E的正弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知轴对称平面五边形ADCEF(如图1),BC为对称轴,AD⊥CD,AD=AB=1,CD=BC=


3
,将此图形沿BC折叠成直二面角,连接AF、DE得到几何体(如图2).
(1)证明:AF平面DEC;
(2)求二面角E-AD-B的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=
1
2
AA1
,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD
(1)证明:DC1⊥BC
(2)求二面角A1-BD-C1的大小.
题型:不详难度:| 查看答案
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