解法一: 依题设知AB=2,CE=1. (Ⅰ)连接AC交BD于点F,则BD⊥AC. 由三垂线定理知,BD⊥A1C.(3分) 在平面A1CA内,连接EF交A1C于点G, 由于==2, 故Rt△A1AC∽Rt△FCE,∠AA1C=∠CFE,∠CFE与∠FCA1互余. 于是A1C⊥EF.A1C与平面BED内两条相交直线BD,EF都垂直, 所以A1C⊥平面BED.(6分) (Ⅱ)作GH⊥DE,垂足为H,连接A1H.由三垂线定理知A1H⊥DE,
故∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角.(8分) EF==,CG==,EG==.=,GH=×=. 又A1C==2,A1G=A1C-CG=.tan∠A1HG==5. 所以二面角A1-DE-B的大小为arctan5.((12分)) 解法二: 以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系D-xyz. 依题设,B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4). =(0,2,1),=(2,2,0),=(-2,2,-4),=(2,0,4).(3分) (Ⅰ)因为•=0,•=0, 故A1C⊥BD,A1C⊥DE. 又DB∩DE=D, 所以A1C⊥平面DBE.(6分) (Ⅱ)设向量=(x,y,z)是平面DA1E的法向量,则n⊥,n⊥. 故2y+z=0,2x+4z=0. 令y=1,则z=-2,x=4,=(4,1,-2).(9分)<,>等于二面角A1-DE-B的平面角,cos<,=>= 所以二面角A1-DE-B的大小为arccos.(12分) |