如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.(Ⅰ)当P
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如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.(Ⅰ)当P
题型:不详
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如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB
∥
DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.
(Ⅰ)当PD
∥
平面EAC时,确定点E在棱PB上的位置;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角A-CE-P余弦值.
答案
(Ⅰ)在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=
π
4
,
∴∠DCA=∠BAC=
π
4
.又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.
∴DC=
2
AC=
2
(
2
AB)=2AB.
连接BD,交AC于点M,则
DM
MB
=
DC
AB
=2
∵PD
∥
平面EAC,又平面EAC∩平面PDB=ME,∴PD
∥
EM
在△BPD中,
PE
EB
=
DM
MB
=2
,
即PE=2EB时,PD
∥
平面EAC
(Ⅱ)以A为原点,AB,AP所在直线分别为y轴、z轴,
如图建立空间直角坐标系.
设PA=AB=BC=a,则A(0,0,0),B(0,a,0),
C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,
2a
3
,).
设
n
1
=(x,y,1)
,为平面EAC的一个法向量,
则
n
1
⊥
AC
,
n
1
⊥
AE
,
∴
ax+ay=0
2ay
3
+
a
3
=0
,解得x=
1
2
,y=-
1
2
,
∴
n
•
1
=(
1
2
,-
1
2
,1).
设
n
2
=(
•
x
,
•
y
,1)为平面PBC的一个法向量,
则
n
2
⊥
BC
,
n
2
⊥
BP
,
又
BC
=(a,0,0),
BP
=(0,-a,a),
∴
ax′=0
-ay′+a=0
,解得x′=0,y′=1,
∴
n
2
=(0,1,1).∴cos
<n
1
,
n
2
>
n
1
•
n
2
|
n
1
|•|
n
2
|
=
3
6
∴二面角A-CE-P的余弦值为
3
6
.
举一反三
一个正三棱锥的底面边长为2,侧棱与底面所成角为45°角,那么这个正三棱锥的体积等于______.
题型:不详
难度:
|
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从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成60°角,则二面角A-PB-C的余弦值是______.
题型:不详
难度:
|
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已知点P为锐二面角α-l-β内的一点,点P到平面α,β及棱l的距离之比为
1:
2
2
:
2
,则此二面角的大小是______.
题型:不详
难度:
|
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菱形ABCD中,∠A=60°,边长为
3
,沿对角线BD把它折成一个二面角后,
AC=
3
2
,则二面角A-BD-C的大小是( )
A.90°
B.45°
C.30°
D.60°
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AC⊥BD,AP=AB=2,BC=
2
2
,E是PC的中点.
(Ⅰ)证明:PC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求平面BDE与平面ABP夹角的大小.
题型:不详
难度:
|
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