从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成60°角,则二面角A-PB-C的余弦值是______.

从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成60°角,则二面角A-PB-C的余弦值是______.

题型:不详难度:来源:
从一点P引三条射线PA、PB、PC且两两成60°角,则二面角A-PB-C的余弦值是______.
答案
在射线PB上取一点M,过M作MA、MC垂直于PB分别相交射线PA、PC于点A、C,连接AC 由图看出,在直角△PAM中,∠APM=60°,令PM=a,则AP=2a AM=


3
a 同样,在直角△PCM中,∠CPM=60°,令PM=a,则CP=2a CM=


3
a
魔方格
由于∠APC=60°,PA=PC=2a 所以△PAC为等边三角形,AC=2a 在△ACM中,作AN垂直于CM于点N,令MN=b,CN=


3
a-b,AN=x,由勾股定理,△AMN中 (


3
a)2-x2=b2△ACN中 (2a)2-x2=(


3
a-b)2联合两式消去x整理的,a=


3
b 即
b
a
=


3
3
b


3
a
=
1
3
所以 cosM=
b


3
a
=
1
3
∴二面角A-PB-C的余弦值是
1
3

故答案为:
1
3
举一反三
已知点P为锐二面角α-l-β内的一点,点P到平面α,β及棱l的距离之比为1:


2
2


2
,则此二面角的大小是______.
题型:不详难度:| 查看答案
菱形ABCD中,∠A=60°,边长为


3
,沿对角线BD把它折成一个二面角后,AC=
3
2
,则二面角A-BD-C的大小是(  )
A.90°B.45°C.30°D.60°
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AC⊥BD,AP=AB=2,BC=2


2
,E是PC的中点.
(Ⅰ)证明:PC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求平面BDE与平面ABP夹角的大小.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,PD是圆柱的母线,AC和BD是圆柱底面圆的互相垂直的两条直径,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F(1)求证:PB⊥平面EFD;(2)求二面角C-PB-D的大小.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,ADBC,∠ABC=90°,PA=PB=3,BC=1,AB=2,AD=3,O是AB的中点.
(1)证明:CD⊥平面POC;
(2)求二面角C-PD-O的余弦值的大小.魔方格
题型:洛阳模拟难度:| 查看答案
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