如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=6，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=3，求

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如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

6

，点E是棱PB的中点．
（1）求直线AD与平面PBC的距离；
（2）若AD=

3

，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

答案

（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，
因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，
又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，
由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，
故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，
在Rt△PAB中，PA=AB=

6

，
所以AE=

1

2

PB=

1

2

PA2+AB2

=

3

（2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．
由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，
故AD⊥AE，从而DE=

AE2+AD2

=

6

在Rt△CBE中，CE=

BE2+BC2

=

6

，由CD=

6

，
所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin

π

3

=

3 2

2

因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=

1

2

AE，
从而FG=

3

2

，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG=

1

2

AD 2+CD2

=

3

2

，
所以cos∠DFG=

DF2+FG2-DG2

2DF•FG

=

6

3