如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AE=3EB；（Ⅰ）若A1F=13FA，求证：EF∥面DD1C1C；（Ⅱ） 求二面角A-EC-D1的正切值、

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如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AE=3EB；
（Ⅰ）若A₁F=

1

3

FA，求证：EF∥面DD₁C₁C；


（Ⅱ） 求二面角A-EC-D₁的正切值、

答案

（Ⅰ）连A₁B，∵AE=3EB.A1F=

1

3

FA
∴

AE

EB

=

AF

FA1

=3，∴FE∥A₁B，又D₁C∥A₁B
∴EF∥D₁C，EF⊄面DD₁C₁C，D₁C⊂面DD₁C₁C
∴FE∥面DD₁C₁C
（Ⅱ）过点D作DG⊥EC，连接D₁G．
由DD₁⊥平面ABCD得D₁G⊥CE，又DG⊥EC，DG∩DD₁=D，
∴CE⊥平面D₁DG．∴CE⊥D₁G，
∴∠D₁GD就是二面角A-EC-D₁的平面角．
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，则AE=3，EB=1．
CE=

42+1

=

17

，△DEC中，由等面积法，DG=

4×4

17

=

16

17

．
∴△D₁DG中，tanD1GD=

DD1

DG

=

4

16 17

=

17

4

．
∴二面角A-EC-D₁的正切值为

17

4