在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

题型：黄冈模拟难度：来源：

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2AB
（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

答案

证明：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD
∵ABCD为正方形∴AC⊥BD
∴BD⊥平面PAC
又BD在平面BPD内，
∴平面PAC⊥平面BPD      （6分）



（2）在平面BCP内作BN⊥PC垂足为N，连DN，
∵Rt△PBC≌Rt△PDC，由BN⊥PC得DN⊥PC；
∴∠BND为二面角B-PC-D的平面角，
在△BND中，BN=DN=

5

6

a，BD=

2

a
∴cos∠BND=

5 6 a2+ 5 6 a2-2a2

5 3 a2

=-

1

5