将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:(1)AC⊥BD;(2)△ACD是等边三角形 (3)AB与平面BCD所成的角为60°;(4
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将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论: (1)AC⊥BD; (2)△ACD是等边三角形 (3)AB与平面BCD所成的角为60°; (4)AB与CD所成的角为60°. 则正确结论的序号为______. |
答案
取BD的中点E,则AE⊥BD,CE⊥BD.∴BD⊥面AEC. ∴BD⊥AC,故(1)正确. 设正方形边长为a,则AD=DC=a,AE=a=EC. ∴AC=a. ∴△ACD为等边三角形,故(2)正确. ∠ABD为AB与面BCD所成的角为45°,故(3)不正确. 以E为坐标原点,EC、ED、EA分别为x,y,z轴建立直角坐标系, 则A(0,0,a),B(0,-a,0),D(0,a,0),C(a,0,0). =(0,-a,-a),=(a,-a,0). cos<,>== ∴<,>=60°,故(4)正确. 故答案为:(1),(2),(4) |
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点. (1)求直线AD与平面PBC的距离; (2)若AD=,求二面角A-EC-D的平面角的余弦值. |
一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的关系是( ) |
如图,在三棱锥S-ABC中,SC⊥平面ABC,点P、M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,∠ACB=90°,直线AM与直线SC所成的角为60°. (1)求证:平面MAP⊥平面SAC. (2)求二面角M-AC-B的平面角的正切值. |
如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC. (Ⅰ)证明:A1C⊥平面BED; (Ⅱ)求二面角A1-DE-B的大小. |
如图,四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=SB=SC=2CD=2,侧面SBC⊥底面ABCD. (1)由SA的中点E作底面的垂线EH,试确定垂足H的位置; (2)求二面角E-BC-A的大小. |
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