(1)由题意画出图形为:
∵ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱, ∴底面为正方形且边长为1,又因为AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为α,∴∠AB1A1=α ,tanα=, 又因为二面角A-B1D1-A1的大小为β,且底面边长为1的正四棱柱,O1为A1C1与B1D1的交点,∴∠AO1A1=β,∴tanβ= 而底面A1B1C1D1为边长为1的正方形,∴A1B1= A1O1,∴tanβ=tanα. (2)∵O1为B1D1的中点,而△AB1D1是以B1D1为底边的等腰三角形,∴AO1⊥B1D1∴B1D1⊥平面ACC1A1∴平面AB1D1⊥平面ACC1A1 且交线为AO1,∴点C到平面AB1D1的投影点必落在A01上即垂足H,在矩形AA1C1C中,利用Rt△AA1O1∽Rt△CHA 得到=,而AH==,∴=⇔=⇒AA1=2, 故正四棱锥的高为AA1=2. |