(Ⅰ)由=t+(1-t)(t∈R),知点C的轨迹是M、N两点所在的直线, 故点C的轨迹方程是:即y=x-4. 由得x2-12x+16=0. ∴x1x2=16,x1+x2=12 ∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16 ∴x1x2+y1y2=0 故⊥. (Ⅱ)由题意知:弦所在的直线的斜率不为零.故设弦所在的直线方程为:x=ky+m, 代入 y2=4x 得 y2-4ky-4m=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-4m. 若以弦DE为直径的圆都过原点,则OD⊥OE,∴x1x2+y1y2=0. 即++y1y2=m2-4m,解得m=0 (不合题意,舍去)或 m=4. ∴存在点P(4,0),使得过P点任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点. 设弦AB的中点为M(x,y) 则x=(x1+x2),y=( y1+y2), x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=4k2+8, ∴弦AB的中点M的轨迹方程为: 消去k得:y2=2x-8. ∴圆心的轨迹方程为y2=2x-8. |