若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”。已知当x>2时,点P(x,0)存在
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若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”。已知当x>2时,点P(x,0)存在
题型:湖南省高考真题
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若A、B是抛物线y
2
=4x上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”。已知当x>2时,点P(x,0)存在无穷多条“相关弦”。给定x
0
>2。
(1)证明:点P(x
0
,0)的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同;
(2)试问:点P(x
0
,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值?若存在,求其最大值(用x
0
表示):若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)设AB为点
的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是
则
两式相减得
因为x
1
≠x
2
所以y
1
+y
2
≠0
设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是
,则
从而AB的垂直平分线
l
的方程为
又点P(x
0
,0)在直线上,
所以
而
于是
故点P(x
0
,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x
0
-2;
(2)由(1)知,弦AB所在直线的方程是
,代入
中
整理得
(·)
则
是方程(·)的两个实根,且
设点P的“相关弦”AB的弦长为
l
,则
因为
于是设t=
,则t∈(0,4x
0
-8)
记
若
,则
所以当
,即
=2(x
0
-3)时,
l
有最大值
若
,则
,
在区间
上是减函数
所以
,
l
不存在最大值
综上所述,当x
0
>3时,点
的“相关弦”的弦长中存在最大值,且最大值为2(x
0
-1);当2<x
0
≤3时,点
的“相关弦”的弦长中不存在最大值。
举一反三
已知点P是直角坐标平面内的动点,点P到直线x=-
-1(p是正常数)的距离为d
1
,到点F(
,0)的距离为d
2
,且d
1
-d
2
=1,
(1)求动点P所在曲线C的方程;
(2)直线l过点F且与曲线C交于不同两点A、B,分别过A、B点作直线l
1
:x=-
的垂线,对应的垂足分别为M、N,求证
=0;
(3)记S
1
=S
△FAM
,S
2
=S
△FMN
,S
3
=S
△FBN
(A、B、M、N是(2)中的点),
,求λ的值.
题型:0112 模拟题
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已知抛物线x
2
=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线交于点M。
(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;
(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点,求四边形ACBD面积的最小值。
题型:贵州省模拟题
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已知抛物线C:y=x
2
+mx+2与经过A(0,1),B(2,3)两点的线段AB有公共点,则m的取值范围是
[ ]
A.(-∞,-1]∪[3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,-1]
D.[-1,3]
题型:0128 模拟题
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则
的值等于
[ ]
A.5
B.4
C.3
D.2
题型:0107 模拟题
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已知直线mx-y+1=0交抛物线y=x
2
于A、B两点,则△AOB
[ ]
A.为直角三角形
B.为锐角三角形
C.为钝角三角形
D.前三种形状都有可能
题型:0127 模拟题
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