已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线交于点M。 (1)求证:A、M、B三点的横坐标成
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已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线交于点M。 (1)求证:A、M、B三点的横坐标成
题型:贵州省模拟题
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来源:
已知抛物线x
2
=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线交于点M。
(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;
(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点,求四边形ACBD面积的最小值。
答案
解:(1)由已知得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0,
可设直线AB的方程为:y=kx+1(k≠0),
,
由
得
,显然△>0,
∴
,
由
得
,
∴
,直线AM的斜率为
,
直线AM的方程为直线
,
化简得AM的方程为
,
同理可得直线BM的方程为
,
两式相减得
,即A、M、B三点的横坐标成等差数列。
(2)由(1)知y=-1,点M的坐标为(2k,-1),
,
则直线MF的方程为:
,
设
,由
得:
,显然△>0,
∴
,∴
,
,
,
∴AB⊥AC,
,
当且仅当k=±1时,四边形ACBD的面积有最小值32。
举一反三
已知抛物线C:y=x
2
+mx+2与经过A(0,1),B(2,3)两点的线段AB有公共点,则m的取值范围是
[ ]
A.(-∞,-1]∪[3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,-1]
D.[-1,3]
题型:0128 模拟题
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过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点,则
的值等于
[ ]
A.5
B.4
C.3
D.2
题型:0107 模拟题
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已知直线mx-y+1=0交抛物线y=x
2
于A、B两点,则△AOB
[ ]
A.为直角三角形
B.为锐角三角形
C.为钝角三角形
D.前三种形状都有可能
题型:0127 模拟题
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过抛物线y
2
=2x的焦点作一条直线与抛物线交于两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线
[ ]
A.有且只有两条
B.有且只有一条
C.有且只有三条
D.有且只有四条
题型:0127 模拟题
难度:
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已知抛物线y
2
=4a(x+a)(a>0),过原点O作一直线交抛物线于A、B两点,如图所示,试求|OA|·|OB|的最小值。
题型:0108 模拟题
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