已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为43,则该抛物线的方程为______.
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已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为43,则该抛物线的方程为______.
题型:张掖模拟
难度:
来源:
已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为
4
3
,则该抛物线的方程为______.
答案
由题意,F(
p
2
,0),准线方程为x=-
p
2
∵|MF|=4|OF|,∴|MF|=2p
∴M的横坐标为
2p-
p
2
=
3p
2
∴M的纵坐标为
y=±
3
p
∵△MFO的面积为
4
3
,
∴
1
2
×
p
2
×
3
p=4
3
∴p=4
∴抛物线的方程为y
2
=8x
故答案为:y
2
=8x
举一反三
已知抛物线方程y
2
=mx(m∈R,且m≠0).
(Ⅰ)若抛物线焦点坐标为(1,0),求抛物线的方程;
(Ⅱ)若动圆M过A(2,0),且圆心M在该抛物线上运动,E、F是圆M和y轴的交点,当m满足什么条件时,|EF|是定值.
题型:湛江二模
难度:
|
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已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴上,且过点(1,2).
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)命题:“过椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
的一个焦点F
1
作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点M,则
|AB|
|
F
1
M|
为定值,且定值是
10
3
”.命题中涉及了这么几个要素:给定的圆锥曲线T,过该圆锥曲线焦点F
1
的弦AB,AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M,AB的长度与F
1
、M两点间距离的比值.试类比上述命题,写出一个关于抛物线C的类似的正确命题,并加以证明.
(Ⅲ)试推广(Ⅱ)中的命题,写出关于抛物线的一般性命题(不必证明).
题型:福建模拟
难度:
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已知顶点为原点O,焦点在x轴上的抛物线,其内接△ABC的重心是焦点F,若直线BC的方程为4x+y-20=0.
(1)求抛物线方程;
(2)轴上是否存在定点M,使过M的动直线与抛物线交于P,Q两点,满足∠POQ=90°?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
4
+
y
2
3
=1
的右焦点为F,左顶点为A,点P为曲线D上的动点,以PF为直径的圆恒与y轴相切.
(Ⅰ)求曲线D的方程;
(Ⅱ)设O为坐标原点,是否存在同时满足下列两个条件的△APM?①点M在椭圆C上;②点O为APM的重心.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.(若三角形ABC的三点坐标为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
),则其重心G的坐标为(
x
1
+
x
2
+
x
3
3
,
y
1
+
y
2
+
y
3
3
))
题型:郑州二模
难度:
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已知抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线上的一点,且其纵坐标为4,|PF|=4.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ) 设点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)(y
i
≤0,i=1,2)是抛物线上的两点,∠APB的角平分线与x轴垂直,求△PAB的面积最大时直线AB的方程.
题型:浙江模拟
难度:
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