(1)证明:依题设,EF是△ABC的中位线,所以EF∥BC, 则EF∥平面OBC,所以EF∥B1C1. 又H是EF的中点,所以AH⊥EF,则AH⊥B1C1. 因为OA⊥OB,OA⊥OC, 所以OA⊥面OBC,则OA⊥B1C1, 因此B1C1⊥面OAH.
(2)作ON⊥A1B1于N,连C1N.因为OC1⊥平面OA1B1, 根据三垂线定理知,C1N⊥A1B1,∠ONC1就是二面角O-A1B1-C1的平面角. 作EM⊥OB1于M,则EM∥OA,则M是OB的中点,则EM=OM=1. 设OB1=x,由=得,=,解得x=3, 在Rt△OA1B1中,A1B1==,则,ON==. 所以tan∠ONC1==,故二面角O-A1B1-C1为arctan.
解法二:(1)以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系, O-xyz则A(2,0,0),B(0,0,2),C(0,2,0),E(1,0,1),F(1,1,0),H(1,,) 所以=(-1,,),=(1,,),=(0,2,-2) 所以•=0,•=0
所以BC⊥平面OAH, 由EF∥BC得B1C1∥BC,故:B1C1⊥平面OAH
(2)由已知A1(,0,0),设B1(0,0,z) 则=(-,0,1),=(-1,0,z-1) 由与共线得:存在λ∈R有=λ得⇒z=3∴B1(0,0,3) 同理:C1(0,3,0),∴=(-,0,3),=(-,3,0) 设1=(x1,y1,z1)是平面A1B1C1的一个法向量, 则令x=2,得y=z=1,∴=(2,1,1). 又=(0,1,0)是平面OA1B1的一个法量∴cos<,>== 所以二面角的大小为arccos (3)由(2)知,A1(,0,0),B(0,0,2),平面A1B1C1的一个法向量为=(2,1,1). 则=(-,0,2). 则点B到平面A1B1C1的距离为d===. |