如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=12AD=a，G是EF的中点，（1）求证：AG⊥平面BGC；（2）求二面角B-AC-

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如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=a，G是EF的中点，
（1）求证：AG⊥平面BGC；
（2）求二面角B-AC-G的正弦值．

答案

（1）证明：∵G是矩形ABEF的边EF的中点
∴AG=BG=

4+4

=2

2

∴AG²+BG²=AB²
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF，
又∵AG⊂平面ABEF，
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC；
（2）作GM⊥AB于M，则M为AB中点，M为G的射影
作GH⊥AC于H，连接MH，则所求角∠GHM
∵GM=a，MH=

1

2

BD=

2

a
∴GH=

3

a
∴sin∠GHM=

GM

GH

=

3

3

．