如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。（1）求点C到平面A1ABB1的距离；（2）若AB1⊥A1C，求二面角A1-C

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如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点。
（1）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
（2）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-C₁的平面角的余弦值。

答案

解：（1）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB
又CD⊥AA₁。
故CD⊥平面A₁ABB₁．
所以点C到平面A₁ABB₁的距离为CD=。（2）如图，取D₁为A₁B₁的中点，连接DD₁，则DD₁∥AA₁∥CC₁
又由（1）知CD⊥平面A₁ABB₁
故CD⊥A₁D，CD⊥D₁D，
所以∠A₁DD₁为所求的二面角A₁-CD-C₁的平面角
因A₁D为A₁C在面A₁ABB₁中的射影，
又已知AB₁⊥A₁C由三垂线定理的逆定理得AB₁⊥A₁D
从而∠A₁AB₁、∠A₁DA都与∠B₁AB互余
因此∠A₁AB₁=∠A₁DA，
所以Rt△A₁AD∽Rt△B₁A₁A
因此AA₁：AD=A₁B₁：AA₁，即AA₁²=AD?A₁B₁=8，得AA₁=2 ，
从而A₁D=
所以Rt△A₁D₁D中，cos∠A₁DD₁=