如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点。(1)求点C到平面A1ABB1的距离;(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1-C

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点。(1)求点C到平面A1ABB1的距离;(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1-C

题型:高考真题难度:来源:
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点。
(1)求点C到平面A1ABB1的距离;
(2)若AB1⊥A1C,求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值。
答案
解:(1)由AC=BC,D为AB的中点,得CD⊥AB
又CD⊥AA1
故CD⊥平面A1ABB1
所以点C到平面A1ABB1的距离为CD=。(2)如图,取D1为A1B1的中点,连接DD1,则DD1∥AA1∥CC1
又由(1)知CD⊥平面A1ABB1
故CD⊥A1D,CD⊥D1D,
所以∠A1DD1为所求的二面角A1-CD-C1的平面角
因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影,
又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D
从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余
因此∠A1AB1=∠A1DA,
所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A
因此AA1:AD=A1B1:AA1,即AA12=AD?A1B1=8,得AA1=2 ,
从而A1D=
所以Rt△A1D1D中,cos∠A1DD1=
举一反三
如图,在正三棱柱ABC﹣中,点D是棱AB的中点,BC=1,A=
(1)求证:B∥平面DC;
(2)求二面角D﹣C﹣A的大小.
题型:月考题难度:| 查看答案
如图,在正三棱柱ABC﹣中,点D是棱AB的中点,BC=1,A=
(1)求证:B∥平面DC;
(2)求二面角D﹣C﹣A的大小.
题型:月考题难度:| 查看答案
如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,边长是a,PD=a,PA=PC=
(1)证明:PD⊥平面ABCD;
(2)求点A到平面PBD的距离;
(3)求二面角A﹣PB﹣D的大小.
题型:月考题难度:| 查看答案
如图,已知四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=2,AB=BC=1,沿AC将△ABC折起,使点B到点P的位置,且平面PAC⊥平面ACD.
(I)证明:DC⊥平面APC;
(II)求二面角B﹣AP﹣D的余弦值.
题型:同步题难度:| 查看答案
如图,在四棱锥S﹣ABCD中,SA=AB=2,SB=SD=,底面ABCD是菱形,且∠ABC=
60°,E为CD的中点.
(I)证明:CD⊥平面SAE;
(II)求侧面SBC和底面ABCD所成二面角的正切值.
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