已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形;PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点.(Ⅰ)求证:PA平面BFD;(Ⅱ)求二面角P﹣BF﹣D的大小

已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形;PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点.(Ⅰ)求证:PA平面BFD;(Ⅱ)求二面角P﹣BF﹣D的大小

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已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形;PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点.
(Ⅰ)求证:PA平面BFD;
(Ⅱ)求二面角P﹣BF﹣D的大小.
答案
证明:(Ⅰ)连接AC,BD与AC交于点O,连接OF.
∵ABCD是菱形,∴O是AC的中点.
∵点F为PC的中点,
∴OFPA.
∵OF平面BFD,PA平面BFD,
∴PA平面BFD.
(Ⅱ)解:∵PA⊥平面ABCD,AC平面ABCD,
∴PA⊥AC.
∵OFPA,
∴OF⊥AC.
∵ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
∵OF∩BD=O,
∴AC⊥平面BDF.
作OH⊥BF,垂足为H,连接CH,则CH⊥BF,
所以∠OHC为二面角PD⊥的平面角.ABCDPA=AD=AC,

在Rt△FOB中,OH=PA,

∴二面角C﹣BF﹣D的大小为
∵二面角C﹣BF﹣D的平面角与二面角P﹣BF﹣D的平面角互补
∴二面角P﹣BF﹣D的大小为π﹣
举一反三
如图,在四棱锥O﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求平面OAB与平面OCD所成的二面角的余弦值.
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如图,在三棱拄ABC﹣A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,已知
(Ⅰ)求证:C1B⊥平面ABC;
(Ⅱ)试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EA⊥EB1
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求二面角A﹣EB1﹣A1的平面角的正切值.
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如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.
(Ⅰ)当PD∥平面EAC时,确定点E在棱PB上的位置;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角A﹣CE﹣P余弦值.
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如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,,EF=2.
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)设,当λ取何值时,二面角A﹣EF﹣C的大小为
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如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(Ⅰ)证明:AP⊥BC;
(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
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