已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．（Ⅰ）求证：PA平面BFD；（Ⅱ）求二面角P﹣BF﹣D的大小

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已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA平面BFD；
（Ⅱ）求二面角P﹣BF﹣D的大小．

答案

证明：（Ⅰ）连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．
∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，
∴OFPA．
∵OF平面BFD，PA平面BFD，
∴PA平面BFD．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵OFPA，
∴OF⊥AC．
∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∵OF∩BD=O，
∴AC⊥平面BDF．
作OH⊥BF，垂足为H，连接CH，则CH⊥BF，
所以∠OHC为二面角PD⊥的平面角．ABCDPA=AD=AC，
∴，．
在Rt△FOB中，OH=PA，
∴．
∴二面角C﹣BF﹣D的大小为
∵二面角C﹣BF﹣D的平面角与二面角P﹣BF﹣D的平面角互补
∴二面角P﹣BF﹣D的大小为π﹣