如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.(Ⅰ)当P

如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.(Ⅰ)当P

题型:吉林省期末题难度:来源:
如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥DC,∠ABC=∠CAD=90°,且PA=AB=BC,点E是棱PB上的动点.
(Ⅰ)当PD∥平面EAC时,确定点E在棱PB上的位置;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角A﹣CE﹣P余弦值.
答案

解:(Ⅰ)在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=
∴∠DCA=∠BAC=.又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形.
∴DC=AC=AB)=2AB.
连接BD,交AC于点M,则
∵PD∥平面EAC,又平面EAC∩平面PDB=ME,∴PD∥EM
在△BPD中,
即PE=2EB时,PD∥平面EAC
(Ⅱ)以A为原点,AB,AP所在直线分别为y轴、z轴,
如图1建立空间直角坐标系.
设PA=AB=BC=a,
则A(0,0,0),B(0,a,0),C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,,).
,为平面EAC的一个法向量,

,解得x=,y=﹣
=(,﹣,1).
=(,1)为平面PBC的一个法向量,

=(a,0,0),=(0,﹣a,a),
,解得x"=0,y"=1,
=(0,1,1).∴cos
∴二面角A﹣CE﹣P的余弦值为

举一反三
如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE∥CF且BE<CF,,EF=2.
(1)求证:AE∥平面DCF;
(2)设,当λ取何值时,二面角A﹣EF﹣C的大小为
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如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2
(Ⅰ)证明:AP⊥BC;
(Ⅱ)在线段AP上是否存在点M,使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.
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如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P是AC与BD的交点,M是CC1的中点.
(1)求证:A1P⊥平面MBD;
(2)求直线B1M与平面MBD所成角的正弦值;
(3)求平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值.
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在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,则二面角D1﹣AB﹣D的大小为(    ).
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如图长方体中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C1﹣BD﹣C的大小为(    ).
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