解:(1)证明:如图,以D为坐标原点,向量,,为单位正交基向量, 建立空间直角坐标系D﹣xyz.则P(,,0),M(0,1,). =(﹣,,﹣1),=(1,1,0),=(0,1,), 所以=0,=0. 所以 又因为BD∩DM=D, 所以A1P⊥平面MBD; (2)由(1)可知,可取=(1,﹣1,2)为平面MBD的一个法向量. 又=(﹣1,1,), 所以cos<,>= 所以直线AM与平面MBD所成角的正弦值为. (3)=(0,1,0),=(﹣1,0,). 设1=(x,y,z)为平面ABM的一个法向量, 则 解得即,故可取1=(1,0,2). 由(1)可知,可取=(1,﹣1,2)为平面MBD的一个法向量. 所以cos<,1>==. 所以平面ABM与平面MBD所成锐角的余弦值为. |