解:(I)证明:(1)连接CD1 ∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形 ∴A1D1AD,ADBC,A1D1=AD,AD=BC; ∴A1D1BC,A1D1=BC, ∴四边形A1BCD1为平行四边形; ∴A1BD1C ∵点E、F分别是棱CC1、C1D1的中点; ∴EFD1C 又∵EFA1B 又∵A1B平面A1DB,EF面A1DB; ∴EF平面A1BD (II)连接AC交BD于点G,连接A1G,EG ∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,底面ABCD是菱形 ∴AA1⊥AB,AA1⊥AD,EC⊥BC,EC⊥DC,AD=AB,BC=CD ∵底面ABCD是菱形, ∴点G为BD中点, ∴A1G⊥BD,EG⊥BD ∴∠A1GE为直二面角A1﹣BD﹣E的平面角, ∴∠A1GE=90° 在棱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2, ∴∠ABC=120°, ∴AC= ∴AG=GC= 在面ACC1A1中,△AGA1,△GCE为直角三角形 ∵∠A1GE=90° ∴∠EGC+∠A1GA=90°, ∴∠EGC=∠AA1G, ∴Rt△A1AG∽Rt△ECG ∴ 所以当EC=时,A1﹣BD﹣E为直二面角. |