如图,棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-CD-B余弦值的大小;(

如图,棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P-CD-B余弦值的大小;(

题型:安徽省期末题难度:来源:
如图,棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,BD=
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角P-CD-B余弦值的大小;
(3)求点C到平面PBD的距离.
答案
解:(1)建立如图所示的直角坐标系,
则A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).
在Rt△BAD中,AD=2,BD=,∴AB=2.
∴B(2,0,0)、C(2,2,0),

,即BD⊥AP,BD⊥AC,
又因为AP∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.
(2)由(1)得
设平面PCD的法向量为
,即,∴
故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD,
为平面ABCD的法向量.
设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ,
依题意可得
(3)由(Ⅰ)得
设平面PBD的法向量为
,即
∴x=y=z,故可取为

∴C到面PBD的距离为

举一反三
菱形ABCD中,∠A=60°,边长为,沿对角线BD把它折成一个二面角后,,则二面角A﹣BD﹣C的大小是[     ]
A.90°
B.45°
C.30°
D.60°
题型:期中题难度:| 查看答案
已知点P为锐二面角α﹣l﹣β内的一点,点P到平面α,β及棱l的距离之比为,则此二面角的大小是(    )。
题型:期中题难度:| 查看答案
如图,在棱长为1 的正方体中,分别为的中点.
(1)求异面直线所成的角的余弦值;
(2)求平面平面所成的锐二面角的余弦值;
题型:江苏期中题难度:| 查看答案
已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,E、F分别是AB、PD的中点.
(1)求证:AF∥平面PEC;
(2)求PC与平面ABCD所成的角的大小;
(3)求二面角P﹣EC﹣D的大小.
题型:四川省月考题难度:| 查看答案
如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=CD,E是PC的中点.
(1)证明PA∥平面BDE;
(2)求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值;
(3)在棱PB上是否存在点F,使PB⊥平面DEF?证明你的结论.
题型:四川省月考题难度:| 查看答案
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