解:(1)以D为坐标原点,分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PD=CD=2,则A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),B(2,2,0), 所以 =(2,0,﹣2), =(0,1,1), =(2,2,0). 设 =(x,y,z)是平面BDE的一个法向量, 则由 ,得 ; 取=﹣1,则 =(1,﹣1,1), ∴![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022105636-28951.png) =2﹣2=0, ∴ ⊥ , 又PA 平面BDE, ∴PA∥平面BDE. (2)由(1)知 =(1,﹣1,1)是平面BDE的一个法向量, 又 = =(2,0,0)是平面DEC的一个法向量. 设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ, 由图可知θ=< , >, ∴cosθ=cos< , >= = = , 故二面角B﹣DE﹣C余弦值为 . (3)∵ =(2,2,﹣2), =(0,1,1), ∴ · =0+2﹣2=0, ∴PB⊥DE. 假设棱PB上存在点F,使PB⊥平面DEF, 设 =λ (0<λ<1), 则 =(2λ,2λ,﹣2λ), = + =(2λ,2λ,2﹣2λ), 由![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022105639-39080.png) =0得4λ2+4λ2﹣2λ(2﹣2λ)=0, ∴λ= ∈(0,1), 此时PF= PB,即在棱PB上存在点F,PF= PB,使得PB⊥平面DEF. |