动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切.设圆心C的轨迹Γ方程为F(x,y)=0(1)求F(x,y)=0;(2)曲线Γ上一定点P(1,2),方向向量d=(1
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动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切.设圆心C的轨迹Γ方程为F(x,y)=0(1)求F(x,y)=0;(2)曲线Γ上一定点P(1,2),方向向量d=(1
题型:奉贤区二模
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来源:
动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切.设圆心C的轨迹Γ方程为F(x,y)=0
(1)求F(x,y)=0;
(2)曲线Γ上一定点P(1,2),方向向量
d
=(1,-1)
的直线l(不过P点)与曲线Γ交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为k
PA
,k
PB
,计算k
PA
+k
PB
;
(3)曲线Γ上的一个定点P
0
(x
0
,y
0
),过点P
0
作倾斜角互补的两条直线P
0
M,P
0
N分别与曲线Γ交于M,N两点,求证直线MN的斜率为定值.
答案
(1)过点C作直线x=-1的垂线,垂足为N,由题意知:|CF|=|CN|,
即动点C到定点F与定直线x=-1的距离相等,由抛物线的定义知,点C的轨迹为抛物线.
其中(1,0)为焦点,x=-1为准线,所以轨迹方程为y
2
=4x.
(2)证明:设 A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),由题得直线的斜率-1.
过不过点P的直线方程为y=-x+b,由
y
2
=4x
y=-x+b
得 y
2
+4y-4b=0,则y
1
+y
2
=-4.
由于P(1,2),
k
AP
+
k
BP
=
y
1
-2
x
1
-1
+
y
2
-
2
0
x
2
-1
=
y
1
-2
y
21
4
-1
+
y
2
-2
y
22
4
-1
=
4
y
1
+2
+
4
y
2
+2
=
4(
y
1
+
y
2
+4)
(
y
1
+2)(
y
2
+2)
=0.
(3)设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则
k
MN
=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
=
y
2
-
y
1
y
22
4
-
y
21
4
=
4
y
1
+
y
2
(***).
设MP的直线方程为y-y
0
=k(x-x
0
),
由
y
2
=4x
y-
y
0
=k(x-
x
0
)
,可得
y
2
-
4
k
y+
4
y
0
k
-4
x
0
=0
,
则
y
0
+
y
1
=
4
k
,∴
y
1
=
4
k
-
y
0
.
同理
y
0
+
y
2
=-
2p
k
,得
y
2
=-
4
k
-
y
0
.
代入(***)计算得:y
1
+y
2
=-2y
0
,∴
k
MN
=-
2
y
0
(为定值).
举一反三
设F
1
、F
2
分别是椭圆
x
2
9
+
y
2
=1
的左、右焦点.
(I)若M是该椭圆上的一个动点,求
m
F
1
•
M
F
2
的最大值和最小值;
(II)设过定点(0,2)的直线l与椭圆交于不同两点A、B,且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
题型:丰台区二模
难度:
|
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已知一直线经过(2,3),其斜率为-1,则此直线方程如何?
题型:不详
难度:
|
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直线ax+by-1=0在y轴上的截距为1,且它的倾斜角是直线
3
x-y-3
3
=0的倾斜角的2倍,则( )
A.a=
3
,b=1
B.a=-
3
,b=-1
C.a=-
3
,b=1
D.a=
3
,b=-1
题型:不详
难度:
|
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若实数x、y满足(x-2)
2
+y
2
=3,则
y
x
的最大值为______.
题型:北京模拟
难度:
|
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设抛物线y
2
=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[-
1
2
,
1
2
]
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4,4]
题型:山东
难度:
|
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