设F1、F2分别是椭圆x29+y2=1的左、右焦点.(I)若M是该椭圆上的一个动点,求mF1•MF2的最大值和最小值;(II)设过定点(0,2)的直线l与椭圆交
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设F1、F2分别是椭圆x29+y2=1的左、右焦点.(I)若M是该椭圆上的一个动点,求mF1•MF2的最大值和最小值;(II)设过定点(0,2)的直线l与椭圆交
题型:丰台区二模
难度:
来源:
设F
1
、F
2
分别是椭圆
x
2
9
+
y
2
=1
的左、右焦点.
(I)若M是该椭圆上的一个动点,求
m
F
1
•
M
F
2
的最大值和最小值;
(II)设过定点(0,2)的直线l与椭圆交于不同两点A、B,且∠AOB为钝角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
答案
(I)由已知
a=3,b=1,c=2
2
,则
F
1
(-2
2
,0),
F
2
(2
2
,0),设M(x,y)
(2分)
M
F
1
•
M
F
2
=(-2
2
-x)(2
2
-x)+
y
2
=
8
9
x
2
-7x∈[-3,3]
(5分)
所以当
x=0时,
M
F
1
•
M
F
2
有最小值为-7;
当
x=±3时,
M
F
1
•
M
F
2
有最大值为1.(7分)
(II)设点A(x
1
,y
2
),B(x
2
,y
2
)直线AB方程:y=kx+2
y=kx+2
x
2
+9
y
2
=9
⇒(1+9
k
2
)
x
2
+36kx+27=0
,※
有
x
1
+
x
2
=-
36k
1+9
k
2
,
x
1
x
2
=
27
1+9
k
2
y
1
y
2
=
-9
k
2
+4
1+9
k
2
(9分)
因为∠AOB为钝角,
所以
OA
•
OB
<0
,即
x
1
x
2
+
y
1
y
2
<0⇒
27
1+9
k
2
+
-9
k
2
+4
1+9
k
2
<0
(12分)
解得
k
2
>
31
9
⇒k>
31
3
或
31
3
,此时满足方程※有两个不等的实根(14分)
故直线l的斜率k的取值范围
k>
31
3
或k<-
31
3
举一反三
已知一直线经过(2,3),其斜率为-1,则此直线方程如何?
题型:不详
难度:
|
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直线ax+by-1=0在y轴上的截距为1,且它的倾斜角是直线
3
x-y-3
3
=0的倾斜角的2倍,则( )
A.a=
3
,b=1
B.a=-
3
,b=-1
C.a=-
3
,b=1
D.a=
3
,b=-1
题型:不详
难度:
|
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若实数x、y满足(x-2)
2
+y
2
=3,则
y
x
的最大值为______.
题型:北京模拟
难度:
|
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设抛物线y
2
=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[-
1
2
,
1
2
]
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4,4]
题型:山东
难度:
|
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直线y=2与直线x+y-2=0的夹角是( )
A.
π
4
B.
π
3
C.
π
2
D.
3π
4
题型:浙江
难度:
|
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