设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率;
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设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,AF=2FB.(1)求椭圆C的离心率;
题型:辽宁
难度:
来源:
设椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,
AF
=2
FB
.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)如果|AB|=
15
4
,求椭圆C的方程.
答案
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),由题意知y
1
>0,y
2
<0.
(1)直线l的方程为
y=
3
(x+c)
,其中
c=
a
2
-
b
2
.
联立
y=
3
(x+c)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
得
(3
a
2
+
b
2
)
y
2
-2
3
b
2
cy-3
b
4
=0
.
解得
y
1
=
3
b
2
(c+2a)
3
a
2
+
b
2
,
y
2
=
3
b
2
(c-2a)
3
a
2
+
b
2
.
因为
AF
=2
FB
,所以-y
1
=2y
2
.即-
3
b
2
(c+2a)
3
a
2
+
b
2
=2
3
b
2
(c-2a)
3
a
2
+
b
2
,
解得离心率
e=
c
a
=
2
3
.(6分)
(2)因为
|AB|=
1+
1
k
2
•|
y
2
-
y
1
|
,∴
15
4
=
1+
1
3
•
4
3
a
b
2
3
a
2
+
b
2
.
由
c
a
=
2
3
得
b=
5
3
a
,所以
5
4
a=
15
4
,解得a=3,
b=
5
.
故椭圆C的方程为
x
2
9
+
y
2
5
=1
.(12分)
举一反三
直线l与直线y=1,x-y-7=0分别相交于P、Q两点,线段PQ的中点坐标为(1,-1),那么直线l的斜率为______.
题型:不详
难度:
|
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如图,边长为2的正六边形ABCDEF的中心在原点,点F、C在x轴上.
(1)求CD边所在的直线方程;
(2)若直线l与边CD相交,且平分该六边形的面积,求直线l的斜率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知圆C在x轴上的截距为-1和3,在y轴上的一个截距为1.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若过点
(2 ,
3
-1)
的直线l被圆C截得的弦AB的长为4,求直线l的倾斜角.
题型:不详
难度:
|
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直线2x-y+1=0的倾斜角为______.(用反三角函数表示)
题型:杨浦区二模
难度:
|
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直线y=3x+1的斜率是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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