已知椭圆:()过点(2,0),且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,
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已知椭圆:()过点(2,0),且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
:
(
)过点(2,0),且椭圆C的离心率为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)若动点
在直线
上,过
作直线交椭圆
于
两点,且
为线段
中点,再过
作直线
.求直线
是否恒过定点,若果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
答案
(1)
;(2)直线
恒过定点
.
解析
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用点在椭圆上和离心率得到方程组,解出a和b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,需要对直线MN的斜率是否存在进行讨论,(ⅰ)若存在点P在MN上,设出直线MN的方程,由于直线MN与椭圆相交,所以两方程联立,得到两根之和,结合中点坐标公式,得到直线MN的斜率,由于直线MN与直线
垂直,从而得到直线
的斜率,因为直线
也过点P,写出直线
的方程,经过整理,即可求出定点,(ⅱ)若直线MN的斜率不存在,则直线MN即为
,而直线
为x轴,经验证直线
,也过上述定点,所以综上所述,有定点.
(1)因为点
在椭圆
上,所以
, 所以
, 1分
因为椭圆
的离心率为
,所以
,即
, 2分
解得
, 所以椭圆
的方程为
. 4分
(2)设
,
,
①当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为
,
,
,
由
得
,
所以
, 因为
为
中点,所以
,即
.
所以
, 8分
因为直线
,所以
,所以直线
的方程为
,
即
,显然直线
恒过定点
. 10分
②当直线
的斜率不存在时,直线
的方程为
,此时直线
为
轴,也过点
.
综上所述直线
恒过定点
. 12分
举一反三
l
1
,l
2
是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l
1
,l
2
间的距离最大时,直线l
1
的方程是________.
题型:不详
难度:
|
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若直线
与直线
平行,则
______ .
题型:不详
难度:
|
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设
分别是椭圆
的上下两个顶点,
为椭圆
上任意一点(不与点
重合),直线
分别交
轴于
两点,若椭圆
在
点的切线交
轴于
点,则
.
题型:不详
难度:
|
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已知
,点
依次满足
。
(1)求点
的轨迹;
(2)过点
作直线
交以
为焦点的椭圆于
两点,线段
的中点到
轴的距离为
,且直线
与点
的轨迹相切,求该椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设点
的坐标为
,是否存在椭圆上的点
及以
为圆心的一个圆,使得该圆与直线
都相切,如存在,求出
点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的左右焦点分别为
,短轴两个端点为
,且四边形
是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若
分别是椭圆长轴的左右端点,动点
满足
,连接
,交椭圆于点
.证明:
为定值;
(3)在(2)的条件下,试问
轴上是否存在异于点
的定点
,使得以
为直径的圆恒过直线
的交点,若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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