已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P使|PA|=|PB|,且点P到l的距离等于2.

已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P使|PA|=|PB|,且点P到l的距离等于2.

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已知点A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,求一点P使|PA|=|PB|,且点P到l的距离等于2.
答案
点P(1,-4)或P(,-)为所求的点
解析
为使|PA|=|PB|(如图),点P必在线段AB的垂直平分线上,又点P到直线l的距离为2,所以点P又在距离l为2且平行于l的直线上,求这两条直线的交点即得所求点P.设点P的坐标为P(a,b).

∵ A(4,-3),B(2,-1).∴ AB的中点M的坐标为(3,-2).又AB的斜率kAB=-1.∴ AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.
而P(a,b)在直线x-y-5=0上.∴ a-b-5=0①.
又已知点P到l的距离为2,∴ 点P必在与l平行且距离为2的直线上,设直线方程为4x+3y+m=0,由两条平行直线之间的距离公式,得=2,
∴ m=8或-12.∴ 点P在直线4x+3y+8=0或4x+3y-12=0上.∴ 4a+3b+8=0或4a+3b-12=0 ②.由①②得a=1,b=-4或a=,b=-.
∴ 点P(1,-4)或P(,-)为所求的点
举一反三
已知点P1(2,3)、P2(-4,5)和A(-1,2),求过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程.
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直线l1:2x+y-4=0,求l1关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线l2的方程.
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已知直线l:x+2y-2=0,试求:
(1) 点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;
(2) 直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;
(3) 直线l关于点(1,1)对称的直线方程.
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直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,且A、B的坐标分别为A(-4,2)、B(3,1),求顶点C的坐标并判断△ABC的形状.
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已知△ABC的顶点为A(3,-1),AB边上的中线所在的直线方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在的直线方程为x-4y+10=0,求BC边所在的直线方程.
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