设曲线y=(x-2)2(0<x<2)上动点P处的切线与x轴、y轴分别交于A,B两点,则△AOB面积的最大值为______.
题型:不详难度:来源:
设曲线y=(x-2)2(0<x<2)上动点P处的切线与x轴、y轴分别交于A,B两点,则△AOB面积的最大值为______. |
答案
设切点P(x0,y0),(0<x0<2). ∵y′=2(x-2),∴切线的斜率为2(x0-2). 切线方程为y-(x0-2)2=2(x0-2)(x-x0). 令y=0,解得x=.∴A(,0). 令x=0,解得y=4-.∴B(0,4-). ∴S△AOB=|AO||OB|=××|4-|=(--2+4x0+8). 令f(x0)=--2+4x0+8,则f′(x0)=-3-4x0+4=-(3x0-2)(x0+2). 令f′(x0)=0,又0<x0<2,解得x0=.列表如下: 由表格可得到:当x=时,f(x0)取得极大值,也即最大值. 此时,S△AOB取得最大值,[-()3-2()2+4×()+8]=. 故答案为. |
举一反三
已知圆O:x2+y2=4,AB为圆O的任意一条直径,P(1,3),Q(-1,0),则当PA+AB+BQ最小时,直径AB所在的直线方程为______. |
已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:2x+(a+5)y+1=0,若l1∥l2,则实数a的值是______. |
已知函数在R上满足,则曲线在点处的切线方程是( ) |
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