已知椭圆的一个顶点为(-2,0),焦点在x轴上,且离心率为22.(1)求椭圆的标准方程.(2)斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点,O为原点,当△AOB的面积最
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已知椭圆的一个顶点为(-2,0),焦点在x轴上,且离心率为22.(1)求椭圆的标准方程.(2)斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点,O为原点,当△AOB的面积最
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆的一个顶点为(-2,0),焦点在x轴上,且离心率为
2
2
.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点,O为原点,当△AOB的面积最大时,求直线l的方程.
答案
(1)设椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,由题意得
a=2,e=
c
a
=
2
2
∴
c=
2
∴b
2
=a
2
-c
2
=2所以所求椭圆的标准方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
(2)将直线l:y=x+b代入椭圆
x
2
4
+
y
2
2
=1
中有3x
2
+4bx+2b
2
-4=0
由△=(4b)
2
-4×3(2b
2
-4)=-8b
2
+48>0得
-
6
<b<
6
由韦达定理得
x
1
+
x
2
=-
4
3
b,
x
1
•
x
2
=
2
b
2
-4
3
∴
|AB|=
4
3
6-
b
2
又点O到直线l的距离
d=
|b|
2
∴
S
△ABC
=
1
2
d|AB|=
2
3
2
6
b
2
-
b
4
=
2
3
2
-
(
b
2
-3)
2
+9
∴当b
2
=3(满足
-
6
<b<
6
)时,S
△ABC
有最大值
2
.此时
b=±
3
∴所求的直线方程为
y=x±
3
举一反三
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题型:不详
难度:
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题型:不详
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题型:不详
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-
3
4
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题型:不详
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题型:不详
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