已知动点P的轨迹为曲线C,且动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离|PF1|,|PF2|的等差中项为2.(1)求曲线C的方程;(2)直线l过圆x
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已知动点P的轨迹为曲线C,且动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离|PF1|,|PF2|的等差中项为2.(1)求曲线C的方程;(2)直线l过圆x
题型:广东模拟
难度:
来源:
已知动点P的轨迹为曲线C,且动点P到两个定点F
1
(-1,0),F
2
(1,0)的距离
|
P
F
1
|,|
P
F
2
|
的等差中项为
2
.
(1)求曲线C的方程;
(2)直线l过圆x
2
+y
2
+4y=0的圆心Q与曲线C交于M,N两点,且
ON
•
OM
=0(O
为坐标原点),求直线l的方程;
(3)设点
A(1,
1
2
)
,点P为曲线C上任意一点,求
|
PA
|+
2
|
P
F
2
|
的最小值,并求取得最小值时点P的坐标.
答案
(1)据已知
|
P
F
1
|+|
P
F
2
|=2
2
,
所求曲线C是椭圆,长轴
2a=2
2
,
a=
2
,c=1,
所以椭圆的方程为
x
2
2
+
y
2
=1
.
(2)设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),
由
ON
•
OM
=0⇒
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0
,
设l:y=kx-2,
y
1
=kx
1
-2,y
2
=kx
2
-2,y
1
y
2
=k
2
x
1
•x
2
-2k(x
1
+x
2
)+4,
(1+k
2
)x
1
x
2
-2k(x
1
+x
2
)+4=0(*).
联立
x
2
2
+
y
2
=1
,得x
2
+2(kx-2)
2
=2,
x
1
,x
2
为上述方程的两根,
∴
x
1
x
2
=
6
1+2
k
2
,
x
1
+
x
2
=
8k
1+2
k
2
代入(*)得
k
2
=5⇒k=±
5
,
所求直线
l为:
5
x-y-2=0或
5
x+y+2=0
(3)椭圆的右准线为x=2,设点P到右准线的距离为d,
则
|
P
F
2
|
d
=
2
2
⇒d=
2
|
P
F
2
|
,
|
PA
|+
2
|
P
F
2
|=|
PA
|+d
,
此时
|
PA
|+d
的最小值为点A到右准线x=2的距离,
(|
PA
|+d
)
min
=1
,
此时点P的坐标为
(
6
2
,
1
2
)
.
举一反三
已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l"的方程,使得:
(1)l"与l平行,且过点(-1,3);
(2)l"与l垂直,且l"与两轴围成的三角形面积为4.
题型:不详
难度:
|
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设x,y∈R,
i
、
j
,为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量,若向量
a
=x
i
+(y+2)
j
,
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点.设
OP
=
OA
+
OB
,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为菱形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设直线2x+3y+1=0和圆x
2
+y
2
-2x-3=0相交于点A、B,则弦AB的垂直平分线方程是______.
题型:湖南
难度:
|
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与两坐标轴正方向围成面积为2平方单位的三角形且截距差为3的直线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知一直线通过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1,求这条直线的方程.
题型:不详
难度:
|
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