(1)∵=x+(y+2),=x+(y-2) ∴||=,||= 设F1(0,-2),F2(0,2),动点M(x,y),可得||、||分别表示点M到F1、F2的距离. ∵||+||=8,即M到F1、F2的距离之和等于8, ∴点M(x,y)的轨迹C是以F1(0,-2),F2(0,2)为焦点,长轴长为8的椭圆, 可得a=4,c=2,b2=a2-c2=12, 可得椭圆方程为+=1,即为点M(x,y)的轨迹C的方程; (2)由于直线l过点(0,3),故 ①当直线l为y轴时,A、B为椭圆的顶点,可得=+= 此时点P与原点重合,不符合题意; ②当直线l与x轴不垂直时,设方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2) 由消去y,得(4+3k2)x2+18kx-21=0 此时△=(18k)2-4(4+3k2)•(-21)=576k2+336>0恒成立 x1+x2=,代入直线得y1+y2=k(x1+x2)+6= ∵=+,∴四边形OAPB是平行四边形, 若四边形OAPB是菱形,则||=|| ∵=(x1,y1),=(x2,y2) ∴x12+y12=x22+y22,化简得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 可得l的斜率k==-=-=- 解之得k=0,因此存在直线y=3,使得四边形OAPB为菱形. |