已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为1.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭
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已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当△AOB面积取得最大值时,求直线l的方程. |
答案
设椭圆方程为+=1(a>b>c) (Ⅰ)由已知得⇒ ∴所求椭圆方程为+y2=1. (Ⅱ)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2) 由,消去y得关于x的方程: (1+2k2)x2+8kx+6=0 由直线l与椭圆相交于A、B两点, ∴△>0⇒64k2-24(1+2k2)>0 解得k2> 又由韦达定理得 ∴|AB|=|x1-x2|== 原点O到直线l的距离d= ∵S△AOB=|AB|•d==. 对S=两边平方整理得:4S2k4+4(S2-4)k2+S2+24=0(*) ∵S≠0, | 16(S2-4)2-4×4S2(S2+24)≥0 | >0 | >0 |
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整理得:S2≤ 又S>0,∴0<S≤ 从而S△AOB的最大值为S=, 此时代入方程(*)得4k4-28k2+49=0∴k=± 所以,所求直线方程为:±x-2y+4=0. |
举一反三
直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,则m的值为______. |
已知直线l过点(2,1),且在两坐标轴上的截距互为相反数,则直线l的方程为( )A.x-y-1=0 | B.x+y-3=0或x-2y=0 | C.x-y-1=0或x-2y=0 | D.x+y-3=0或x-y-1=0 |
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如图 已知A(1,2)、B(-1,4)、C(5,2), (1)求线段AB中点D坐标; (2)求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程. |
求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点,且分别满足下列条件的直线l的方程 (1)直线l与直线3x-4y+1=0平行;(2)直线l与直线5x+3y-6=0垂直. |
已知直线mx+ny+2=0平行于直线x-2y+5=0,且在y轴上的截距为1,则m,n的值分别为( ) |
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