设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点, (Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程

设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点, (Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程

题型:模拟题难度:来源:
设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点,
(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由。
答案

解:(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为y=k(x-1),
代入,整理得, ①
是方程①的两个不同的根,
, ②

由N(1,3)是线段AB的中点,得
,解得k=-1,
代入②得,λ>12,
即λ的取值范围是(12,+∞),
于是,直线AB的方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0。
(Ⅱ)∵CD垂直平分AB,
∴直线CD的方程为y-3=x-1,即x-y+2=0,
代入椭圆方程,整理得
又设,CD的中点为是方程③的两根,
,即
于是由弦长公式可得, ④
将直线AB的方程x+y-4=0,
代入椭圆方程得, ⑤
同理可得, ⑥
∵当λ>12时,
∴|AB|<|CD|,
假设存在λ>12,使得A、B、C、D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心,
点M到直线AB的距离为, ⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得,

故当λ>12时,A、B、C、D四点均在以M为圆心,为半径的圆上。

举一反三
下列命题是否正确?若不正确,说明原因.(1) 过点A(2 ,0) 平行于y 轴的直线Z 的方程是|x|=2;
(2) 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=x
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如图所示,曲线由第一、四象限角平分线构成,它的方程是 
[     ]
A.|x|-y=0      
B.|y|-x=0
C.
D.
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如图所示,曲线由第一、四象限角平分线构成,它的方程是    
[     ]
A.|x|-y=0      
B.|y|-x=0
C .
D.
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直线与x、y轴交点的中点的轨迹方程是                                
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斜率为1的直线与两直线2x+y-1 =0 ,x+2y-2=0 分别交于A 、B 两点,求线段AB 中点的轨迹方程.
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