已知定点、,动点,且满足、、成等差数列.(1)求点的轨迹的方程;(2)若曲线的方程为,过点的直线与曲线相切,求直线被曲线截得的线段长的最小值.
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已知定点、,动点,且满足、、成等差数列.(1)求点的轨迹的方程;(2)若曲线的方程为,过点的直线与曲线相切,求直线被曲线截得的线段长的最小值.
题型:不详
难度:
来源:
已知定点
、
,动点
,且满足
、
、
成等差数列.
(1)求点
的轨迹
的方程;
(2)若曲线
的方程为
,过点
的直线
与曲线
相切,
求直线
被曲线
截得的线段长的最小值.
答案
(1)
:(2)
.
解析
试题分析:(1)利用题中的条件得到椭圆的定义,求出椭圆的实轴长与焦距,然后利用
、
、
之间的关
系求出
的值,从而确定点
的轨迹
的方程;(2)先设直线
的方程为
,利用直线
与圆
相切,结合
确定
和
之间的等量关系,然后联立直线与椭圆
的方程,求出交点的坐标,利用两点
间的距离公式求出弦长的表达式,利用换元法将弦长表达式进行化简,并利用函数单调性求出弦长的最小
值.
(1)由
、
,
,
根据椭圆定义知
的轨迹为以
、
为焦点的椭圆,
其长轴
,焦距
,短半轴
,故
的方程为
.
(2)过点
与
轴垂直的直线不与圆
相切,故可设
:
,
由直线
与曲线
相切得
,化简得
,
,
由
,解得
,
联立
,消去
整理得
,
直线
被曲线
截得的线段一端点为
,设另一端点为
,
解方程可得
,
有
,
令
,则
,
,
考查函数
的性质知
在区间
上是增函数,
所以
时,
取最大值
,从而
.
举一反三
已知函数
,对函数
,定义
关于
的对称函数为函数
,
满足:对于任意
,两个点
关于点
对称,若
是
关于
的“对称函数”,且
恒成立,则实数
的取值范围是_________.
题型:不详
难度:
|
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已知点P在y=x
2
上,且点P到直线y=x的距离为
,这样的点P的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.
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(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在棱长为
的正方体
中,
为
的中点,
为
上任意一点,
为
上两点,且
的长为定值,则下面四个值中不是定值的是( )
A.点
到平面
的距离
B.直线
与平面
所成的角
C.三棱锥
的体积
D.
的面积
题型:不详
难度:
|
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若
,则
的最小值为
.
题型:不详
难度:
|
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