试题分析: 思路一、由PA="PD," O为AD中点,侧面PAD⊥底面ABCD,可得PO⊥平面ABCD. 又在直角梯形中,易得所以可以为坐标原点,为轴,为轴, 为轴建立空间直角坐标系,然后利用空间向量求解. 思路二、(1)易得平面,所以即为所求.(2)由于,从而平面,所以可转化为求点到平面.(3)假设存在,过Q作,垂足为,过作,垂足为M,则即为二面角的平面角.设,利用求出,若,则存在,否则就不存在. 试题解析:(1) 在△PAD中PA="PD," O为AD中点,所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面平面ABCD="AD," 平面PAD,
所以PO⊥平面ABCD. 又在直角梯形中,易得; 所以以为坐标原点,为轴,为轴, 为轴建立空间直角坐标系. 则,,,; ,易证:, 所以平面的法向量,
所以与平面所成角的余弦值为 .4分 (2),设平面PDC的法向量为, 则,取得 点到平面的距离 .8分 (3)假设存在,且设. 因为 所以, 设平面CAQ的法向量中,则 取,得. 平面CAD的一个法向量为, 因为二面角Q OC D的余弦值为,所以. 整理化简得:或(舍去), 所以存在,且 13分 |