(理)已知⊙:和定点,由⊙外一点向⊙引切线,切点为,且满足.(1)求实数间满足的等量关系;(2)求线段长的最小值;(3)若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点,试求半径

(理)已知⊙:和定点,由⊙外一点向⊙引切线,切点为,且满足.(1)求实数间满足的等量关系;(2)求线段长的最小值;(3)若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点,试求半径

题型:不详难度:来源:
(理)已知⊙和定点,由⊙外一点向⊙引切线,切点为,且满足
(1)求实数间满足的等量关系;
(2)求线段长的最小值;
(3)若以为圆心所作的⊙与⊙有公共点,试求半径取最小值时的⊙方程.
答案
(1);(2);(3)
解析

试题分析:(1)连接OP,OQ,

,在中,,且 ,结合两点之间距离公式可得关于的等式;(2)在中,,是含有的二元函数,结合(1)可得关于的一元函数,求其最小值即可;(3)方法一:因为⊙与⊙有公共点,则得圆心距和其半径的关系,要求半径的最小值,只需最小,将用两点之间距离公式表示出来,求其最小值并求取的最小值时,得⊙的圆心,进而求出圆的标准方程;方法二:由(1)知⊙的圆心的轨迹方程为,过点作垂直于的垂线,垂足为,当两圆外切且以为圆心时,半径最小,此时,两条直线求交点确定圆心,从而求出圆的 标准方程.
试题解析:(1)连为切点,,由勾股定理有,又由已知,故.即:,化简得实数a、b间满足的等量关系为:;(2)由,得=
,故当时,即线段PQ长的最小值为 ;
(3)方法一:设圆P的半径为圆P与圆O有公共点,圆O的半径为1,,而,故当时,此时, ,得半径取最小值时圆P的方程为
方法二:圆与圆有公共点,圆 半径最小时为与圆外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1,圆心为过原点与垂直的直线 与的交点 ,又:x-2y = 0,解方程组,得.即,∴所求圆方程为.

举一反三
在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),若以直角坐标系xoy的原点为极点,OX为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 ρsin(θ+)="0," 求与直线l垂直且与曲线C相切的直线m的极坐标方程.
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上的动点到直线距离的最小值是   .
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,则P到各顶点的距离的不同取值有       个.

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如右图.M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是         cm.

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关于图中的正方体,下列说法正确的有: ____________.

点在线段上运动,棱锥体积不变;
点在线段上运动,直线AP与平面平行;
③一个平面截此正方体,如果截面是三角形,则必为锐角三角形;
④一个平面截此正方体,如果截面是四边形,则必为平行四边形;
⑤平面截正方体得到一个六边形(如图所示),则截面在平面 
与平面间平行移动时此六边形周长先增大,后减小。
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