设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,BxB,yB∈Z.令△x=xB-xA,△y=yB-yA,若|△x|+|△y=3,且

设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,BxB,yB∈Z.令△x=xB-xA,△y=yB-yA,若|△x|+|△y=3,且

题型:海淀区一模难度:来源:
设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,BxB,yB∈Z.令△x=xB-xA,△y=yB-yA,若|△x|+|△y=3,且|△x|-|△y|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作:B=i(A).
(Ⅰ)请问:点(0,0)的“相关点”有几个?判断这些点是否在同一个圆上,若在,写出圆的方程;若不在,说明理由;
(Ⅱ)已知点H(9,3),L(5,3),若点M满足M=i(H),L=i(M),求点M的坐标;
(Ⅲ)已知P0(x0,y0)(x0∈Z,Y0∈Z)为一个定点,点列{Pi}满足:Pi=i(Pi-1),其中i=1,2,3,…,n,求|P0Pn|的最小值.
答案
(I)因为|△x|+|△y=3,且|△x|-|△y|≠0,|△x|与|△y|为非零整数,
故|△x|=1,|△y|=2;或|△x|=2,|△y|=1,所以点(0,0)的“相关点”有8个,
分别为:(1,2)、(1,-2)、(-1,2)、(-1,-2)、(2,1)、(2,-1)、
(-2,1)、(-2,-1).…(1分)
又因为 (△x)2+(△y)2=5,即(xi-0)2+(yi-0)2=5,
所以,这些可能值对应的点在以(0,0)为圆心,以


5
为半径的圆上.…(3分)
(II)设M(xM,yM),因为M=i(H),L=i(M),
所以有|xM-9|+|yM-3|=3,|xM-5|+|yM-3|=3,…(5分)
所以|xM-9|=|xM-5|,所以xM=7,故yM=2 或 yM=4,
所以M(7,2),或M(7,4).…(7分)
(III)当n=2k,且 k∈N* 时,|P0Pn|的最小值为0.例如:P0(x0,y0 ),
P1 (x0+1,y0 ),P2((x0,y0 ),显然,P0=i(P1),P1=i(P2),此时,|P0P2|=0.…(8分)
当n=1时,可知,|P0Pn|的最小值为


5
.…(9分)
当n=3 时,对于点P,按照下面的方法选择“相关点”,可得P3(x0,y0+1):
由P0(x0,y0 ),依次找出“相关点”分别为P1(x0+2,y0+1),P2(x0+1,y0+3),P3(x0,y0+1).
此时,|P0P3|=1,故|P0Pn|的最小值为1.…(11分)
然后经过3次变换回到P3(x0,y0+1),故|P0Pn|的最小值为1.
当n=2k+1,k>1,k∈N* 时,经过2k次变换回到初始点P0(x0,y0 ),
故经过2k+1次变换回到P3(x0,y0+1),故|P0Pn|的最小值为1.
综上,当 n=1 时,|P0Pn|的最小值为


5

当当n=2k,k∈N* 时,|P0Pn|的最小值为0,
当n=2k+1,k∈N* 时,|P0Pn|的最小值为1.   …(13分)
举一反三
在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y,设O为坐标原点,点P的坐标为(x-2,x-y).
(1)求|OP|的最大值;
(2)求|OP|取得最大值时的概率.
题型:楚雄州模拟难度:| 查看答案
在曲线





x=t+4cosθ
y=4sinθ
(θ为参数)
上,仅存在四个点到点(1,0)距离与到直线x=-1的距离相等,则t的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
在直角坐标系xOy中,已知圆M的方程为x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α为参数),直线l的参数方程为





x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
为参数)
(I)求圆M的圆心的轨迹C的参数方程,并说明它表示什么曲线;
(II)求直线l被轨迹C截得的最大弦长.
题型:不详难度:| 查看答案
已知定义在区间(0,
π
2
)上的函数y=


3
sinx的图象与函数y=cosx的图象的交点为P,过P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=tanx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为(  )
A.


3
B.


2
2
C.


3
3
D.


3
2
题型:不详难度:| 查看答案
x轴上任一点到定点(0,2)、(1,1)距离之和最小值是(  )
A.


2
B.2+


2
C.


10
D.


5
+1
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