已知椭圆c：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A（0，b），△AF1F2是正三角形且周长为6．（1）求椭圆C的标准方程

题型：不详难度：来源：

已知椭圆c：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F₁A上的一个动点，求|PF₂|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．

答案

（1）由题意，得

a=2c a+a+2c=6 a2=b2+c2

，解之得a=2，b=

3

，c=1
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，离心率e=

1

2

；
（2）∵△AF₁F₂是正三角形，可得直线AF₁的斜率为k=tan

π

3

=

3

∴直线AF₁的方程为y=

3

（x+1）
设点O关于直线AF₁的对称点为M（m，n），则

n m • 3 =-1 n 2 = 3 ( m 2 +1)

，
解之得m=-

3

2

，n=

3

2

，可得M坐标为（-

3

2

，

3

2

），
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|＞|MF₂|
∴|PF₂|+|PM|的最小值为|MF₂|=

(- 3 2 -1)2+( 3 2 -0)2

=

7

直线MF₂的方程为y=

3 2 -0

- 3 2 -1

（x-1），即y=-

3

5

（x-1）
由

y=- 3 5 (x-1) y= 3 (x+1)

解得

x=- 2 3 y= 3 3

，所以此时点P的坐标为（-

2

3

，

3

3

）．
综上所述，可得求|PF₂|+|PO|的最小值为

7

，此时点P的坐标为（-

2

3

，

3

3

）．