如图,已知两定点A(1,0),B(4,0),坐标xOy平面内的动点M满足,(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程并画出草图;(Ⅱ)是否存在过点A的直线n,使得直线n与曲线
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如图,已知两定点A(1,0),B(4,0),坐标xOy平面内的动点M满足,(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程并画出草图;(Ⅱ)是否存在过点A的直线n,使得直线n与曲线
题型:海南省模拟题
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如图,已知两定点A(1,0),B(4,0),坐标xOy平面内的动点M满足
,
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程并画出草图;
(Ⅱ)是否存在过点A的直线n,使得直线n与曲线C相交于P,Q两点,且△PBQ的面积等于2
?如果存在,请求出直线n的方程;如果不存在,请说明理由。
答案
解:(Ⅰ)设M(x,y),
则
,
代入
得,
,
化简,即得曲线C的方程为x
2
+y
2
=4,草图如图所示,
(Ⅱ)(ⅰ)若直线n的斜率不存在时,此时点
,
△PBQ的面积等于
,不符合;
(ⅱ)若直线n的斜率为k时,直线n的方程设为y=k(x-1),
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
联立
得(1+k
2
)x
2
-2k
2
x+k
2
-4=0,
则
,
则
,
所以
,
点B到直线n的距离
,
所以△PBQ的面积等于
,
解得k=
,
故存在直线n为y=
(x-1)。
举一反三
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,则线段AM的长为( )。
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2
+y
2
的最小值为( )。
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2
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,则M到该抛物线焦点的距离为( )。
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1
,τ
2
,τ
3
,τ
4
,则下列关系中正确的为
[ ]
A.τ
1
>τ
4
>τ
3
B.τ
3
>τ
1
>τ
2
C.τ
4
>τ
2
>τ
1
D.τ
3
>τ
4
>τ
1
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