已知平面直角坐标系中O是坐标原点,,圆是的外接圆,过点(2,6)的直线为。(1)求圆的方程;(2)若与圆相切,求切线方程;(3)若被圆所截得的弦长为,求直线的方

已知平面直角坐标系中O是坐标原点,,圆是的外接圆,过点(2,6)的直线为。(1)求圆的方程;(2)若与圆相切,求切线方程;(3)若被圆所截得的弦长为,求直线的方

题型:不详难度:来源:
已知平面直角坐标系中O是坐标原点,,圆的外接圆,过点(2,6)的直线为
(1)求圆的方程;
(2)若与圆相切,求切线方程;
(3)若被圆所截得的弦长为,求直线的方程。
答案
解:(1)圆C的方程为:
(2)        (3)
解析
此题考查了直线与圆相交的性质,直线与圆的位置关系,以及圆的标准方程,涉及的知识有:两直线垂直时斜率满足的关系,直线斜率的求法,直线的点斜式方程,两点间的距离公式,线段中点坐标公式,点到直线的距离公式,垂径定理,以及勾股定理,利用了分类讨论及转化的思想,其中当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点,进而利用弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
(1)三角形外接圆的圆心C为三角形三边垂直平分线的交点,故找出边OA与OB的垂直平分线交点即为圆心C,由A和O的坐标得出直线OA的斜率,利用两直线垂直时斜率满足的关系求出线段OA垂直平分线的斜率,再利用线段中点坐标公式求出线段OA的中点坐标,确定出线段OA垂直平分线的方程,找出线段OB垂直平分线的方程,两直线解析式联立求出两直线的交点坐标,即为圆心C的坐标,再由C与O的坐标,利用两点间的距离公式求出|OC|的长,即为圆C的半径,由圆心和半径写出圆C的标准方程即可;
(2)显然切线方程的斜率存在,设切线方程的斜率为k,由切线过(2,6),表示出切线的方程,由直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,即可确定出切线的方程;
(3)当直线l的斜率不存在时,显然x=2满足题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,由直线l过(2,6),表示出直线l的方程,由弦长及半径,利用垂径定理及勾股定理求出弦心距,即为圆心C到直线l的距离,再利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离,列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出直线l的方程,综上,得到所有满足题意的直线l的方程
举一反三
如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x、y轴于点,一圆心位于(0,3),半径为3的动圆沿x轴向右滚动,动圆每6秒滚动一圈,则动圆与直线AB第一次相切时所用的时间为         秒.
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设直线过点其斜率为1,且与圆相切,则的值为                
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直线和圆相交于点A、B,则AB的垂直平分线方程是               
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(本题满分15分)
设有半径为3的圆形村落,两人同时从村落中心出发。一直向北直行;先向东直行,出村后一段时间,改变前进方向,沿着与村落边界相切的直线朝所在的方向前进。
(1)若在距离中心5的地方改变方向,建立适当坐标系,
求:改变方向后前进路径所在直线的方程
(2)设两人速度一定,其速度比为,且后来恰与相遇.问两人在何处相遇?
(以村落中心为参照,说明方位和距离)
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(本题满分16分)
已知圆,设点是直线上的两点,它们的横坐标分别
,点的纵坐标为且点在线段上,过点作圆的切线,切点为
(1)若,求直线的方程;
(2)经过三点的圆的圆心是
①将表示成的函数,并写出定义域.
②求线段长的最小值
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